🔹 Base canonique
La base canonique dans ℝⁿ est constituée des vecteurs unitaires où un seul coefficient est 1 et les autres sont 0.
e₁ = (1, 0, 0, ..., 0) e₂ = (0, 1, 0, ..., 0) ... eₙ = (0, 0, ..., 1)
Tout vecteur de ℝⁿ peut s'écrire comme une combinaison linéaire de ces vecteurs.
🔹 Application linéaire
Une application linéaire est une fonction f : ℝⁿ → ℝᵐ qui respecte :
f(u + v) = f(u) + f(v)f(λu) = λf(u)
Elle est souvent représentée par une matrice qui transforme un vecteur d’un espace vers un autre.
🔹 Matrice de passage
La matrice de passage permet de passer d’une base à une autre dans un même espace vectoriel.
Si B et B′ sont deux bases, la matrice de passage de B vers B′ permet d’écrire :
[v]_{B′} = P⁻¹ [v]_B
où P est la matrice formée par les vecteurs de B′ exprimés dans la base B.
🔹 Méthode de Cramer
La méthode de Cramer permet de résoudre un système linéaire AX = B si A est inversible (déterminant non nul).
La solution est donnée par :
xᵢ = det(Aᵢ) / det(A), pour chaque inconnue xᵢ
où Aᵢ est la matrice obtenue en remplaçant la i-ème colonne de A par B.