📘 Résumé : Application Linéaire, Im f, Ker f, Dimension

1. Application linéaire

Une fonction f : E → F est dite linéaire si :

• f(u + v) = f(u) + f(v) pour tous u, v ∈ E
• f(λu) = λf(u) pour tout scalaire λ et u ∈ E

Elle conserve donc les opérations vectorielles.

2. Noyau d'une application : Ker(f)

Le noyau est l'ensemble des vecteurs de E envoyés sur 0 :

Ker(f) = {x ∈ E | f(x) = 0}

C’est un sous-espace vectoriel de E.

3. Image d'une application : Im(f)

L’image est l’ensemble des vecteurs de F atteints par f :

Im(f) = {f(x) | x ∈ E}

C’est aussi un sous-espace vectoriel de F.

4. Dimension et théorème du rang

Si E est de dimension finie, alors :

Théorème du rang :

dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f))

Cela permet de relier les dimensions du noyau et de l’image à celle de l’espace de départ.