📘 Résumé : Inverse, Morphisme, Loi commutative, Anneau, Corps

1. Loi de composition interne

Une loi de composition interne est une application :

⋆ : E × E → E, telle que x ⋆ y ∈ E pour tout x, y ∈ E.

2. Loi commutative

Une loi ⋆ est commutative si x ⋆ y = y ⋆ x pour tous x, y ∈ E.

3. Élément neutre et inverse

• Élément neutre : un élément e ∈ E tel que x ⋆ e = e ⋆ x = x.
• Inverse : un élément y ∈ E est l’inverse de x si x ⋆ y = y ⋆ x = e.

4. Morphisme

Un morphisme est une fonction entre deux structures algébriques qui respecte les opérations.

Exemple : si f : A → B est un morphisme de groupes, alors :

f(x ⋆ y) = f(x) ⋆' f

5. Anneau commutatif unitaire

Un anneau est un ensemble A muni de deux lois :

• (A, +) est un groupe abélien (associatif, neutre, inverse, commutatif).
• (A, ×) est associative et distributive par rapport à +.
• Commutatif si a × b = b × a.
• Unitaire s’il existe 1 ∈ A tel que 1 × a = a pour tout a.

6. Corps

Un corps est un anneau commutatif unitaire dans lequel tout élément non nul est inversible :

∀ a ∈ A, a ≠ 0 ⇒ ∃ a⁻¹ ∈ A tel que a × a⁻¹ = 1.