Résumé : Applications et Images
1. Application Injective (Injection)
Définition : Une application \( f : E \rightarrow F \) est injective si deux éléments distincts de E ont des images distinctes.
Formellement : \( \forall x_1, x_2 \in E, f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \)
Formellement : \( \forall x_1, x_2 \in E, f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \)
2. Application Surjective (Surjection)
Définition : Une application \( f : E \rightarrow F \) est surjective si tout élément de F est atteint.
Formellement : \( \forall y \in F, \exists x \in E \text{ tel que } f(x) = y \)
Formellement : \( \forall y \in F, \exists x \in E \text{ tel que } f(x) = y \)
3. Application Bijective (Bijection)
Définition : Une application est bijective si elle est à la fois injective et surjective.
Elle admet alors une fonction réciproque notée \( f^{-1} : F \rightarrow E \).
Elle admet alors une fonction réciproque notée \( f^{-1} : F \rightarrow E \).
4. Image directe d’un ensemble
Soit \( A \subset E \). L’image directe est l’ensemble des images des éléments de A :
\( f(A) = \{ f(x) \in F \mid x \in A \} \)
\( f(A) = \{ f(x) \in F \mid x \in A \} \)
5. Image réciproque d’un ensemble
Soit \( B \subset F \). L’image réciproque est :
\( f^{-1}(B) = \{ x \in E \mid f(x) \in B \} \)
Elle existe toujours, même si f n’est pas bijective.
\( f^{-1}(B) = \{ x \in E \mid f(x) \in B \} \)
Elle existe toujours, même si f n’est pas bijective.
آخر تعديل: الثلاثاء، 3 يونيو 2025، 9:17 PM