Exercice 5 :

1) Vérification de la linéarité :

Soient u₁ = (x₁, y₁, z₁), u₂ = (x₂, y₂, z₂) ∈ ℝ³, et soient α₁, α₂ ∈ ℝ.

Alors :

α₁·u₁ + α₂·u₂ = (α₁x₁ + α₂x₂, α₁y₁ + α₂y₂, α₁z₁ + α₂z₂)

Posons :
X = α₁x₁ + α₂x₂
Y = α₁y₁ + α₂y₂
Z = α₁z₁ + α₂z₂

φ(α₁·u₁ + α₂·u₂) = φ(X, Y, Z)
                 = X + 2Y + Z
                 = α₁x₁ + α₂x₂ + 2(α₁y₁ + α₂y₂) + α₁z₁ + α₂z₂
                 = α₁(x₁ + 2y₁ + z₁) + α₂(x₂ + 2y₂ + z₂)
                 = α₁·φ(u₁) + α₂·φ(u₂)
  

Donc : φ est une application linéaire.

2) Calcul de Im(φ) et ker(φ) :

Image :

Im(φ) = { φ(x, y, z) ; x, y, z ∈ ℝ }
      = { x + 2y + z ; x, y, z ∈ ℝ }
      = ℝ (car c'est une combinaison linéaire sur ℝ)

⇒ dim(Im φ) = 1
  

Noyau :

On utilise la relation : dim(ker φ) + dim(Im φ) = dim(ℝ³) = 3

⇒ dim(ker φ) = 3 - 1 = 2
  

Donc :

dim(Im φ) = 1
dim(ker φ) = 2