Méthode de Newton (ou de Newton-Raphson)
La méthode de Newton est une méthode de recherche de racines relativement simple, pratique et largement utilisée. Elle possède une convergence rapide dans certains cas, mais peut aussi ne pas converger du tout dans d'autres. Cette méthode bénéficie également d'une interprétation géométrique élégante.
Déduction de l'algorithme à partir du développement de Taylor
Supposons que \( f(x) \) possède au moins une racine réelle, que l'on note \( r \). On commence par une estimation initiale \( x_0 \) de la racine. À partir de cette valeur, on cherche une correction \( h \) telle que :
\[ f(x_0 + h) = 0 \]
On effectue un développement de Taylor de \( f \) au voisinage de \( x_0 \) :
\[ f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0) h + \frac{1}{2} f''(x_0) h^2 + \frac{1}{6} f^{(3)}(x_0) h^3 + \cdots \]
En négligeant les termes d'ordre supérieur à 1, on obtient l'approximation :
\[ 0 \approx f(x_0) + f'(x_0) h \quad \Rightarrow \quad h = -\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \]
On définit alors l'itération suivante par :
\[ x_1 = x_0 + h = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \]
En général, la méthode de Newton est définie par l'itération :
\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]
Exemple
Résolvons l'équation \( f(x) = e^x - x = 0 \) à l'aide de la méthode de Newton.
On calcule la dérivée :
\[ f'(x) = e^x - 1 \]
L'algorithme devient alors :
\[ x_{n+1} = x_n - \frac{e^{x_n} - x_n}{e^{x_n} - 1} \]
Les résultats sont compilés dans le tableau suivant à partir de \( x_0 = 0 \) :
| n | \(x_n\) | \(|x_n - x_{n-1}|\) |
|---|---|---|
| 0 | 0.00000000 | – |
| 1 | 0.50000000 | 0.50000000 |
| 2 | 0.56631100 | 0.06631100 |
| 3 | 0.56714329 | 0.00083229 |
| 4 | 0.56714329 | \( \approx 10^{-6} \) |
On observe une convergence très rapide. Le nombre de chiffres significatifs double à chaque itération, ce qui est typique de la méthode de Newton.
Interprétation géométrique
Soit \( x_0 \) une estimation initiale de la solution de \( f(x) = 0 \). On considère la droite tangente à \( f \) au point \( x_0 \), dont l'équation est :
\[ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \]
Cette droite correspond à l'approximation de \( f \) par son développement de Taylor d'ordre 1 autour de \( x_0 \).
L'intersection de cette tangente avec l'axe des abscisses donne l'estimation suivante de la racine. On la note \( x_1 \). En posant \( y = 0 \), on a :
\[ 0 = f(x_0) + f'(x_0)(x_1 - x_0) \quad \Rightarrow \quad x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \]
On répète ensuite le même raisonnement à partir de \( x_1 \), puis \( x_2 \), etc.