🔧 Décomposition interne et propriétés
Décomposition interne : Une loi de composition interne sur un ensemble \( E \) est une opération qui à deux éléments \( a, b \in E \) associe un élément \( a * b \in E \).
Exemple : L’addition sur \( \mathbb{Z} \) est une loi de composition interne : \( \forall a,b \in \mathbb{Z},\ a + b \in \mathbb{Z} \).
Associativité : Une loi \( * \) est associative si : \( \forall a,b,c \in E,\ (a * b) * c = a * (b * c) \).
Exemple : L’addition et la multiplication dans \( \mathbb{R} \) sont associatives.
Élément neutre : Un élément \( e \in E \) est neutre si \( \forall a \in E,\ a * e = e * a = a \).
Exemple : Pour \( (\mathbb{R}, +) \), l’élément neutre est \( 0 \).
Élément symétrique : Pour un élément \( a \in E \), son symétrique \( a' \) vérifie : \( a * a' = a' * a = e \), où \( e \) est l’élément neutre.
Exemple : Pour \( a = 5 \) dans \( (\mathbb{Z}, +) \), \( -5 \) est son symétrique.
Commutativité : Une loi est commutative si \( a * b = b * a \) pour tous \( a, b \in E \).
Exemple : L’addition est commutative dans \( \mathbb{Z} \), mais la soustraction ne l’est pas.
🔗 Structures algébriques
1. Groupe
Un groupe est un ensemble \( G \) muni d’une loi \( * \) telle que :
- \( * \) est associative
- Il existe un élément neutre \( e \in G \)
- Chaque élément possède un symétrique
Exemple : \( (\mathbb{Z}, +) \) est un groupe abélien. \( (\mathbb{R}^*, \times) \) est un groupe non abélien.
2. Sous-groupe
Un sous-groupe est une partie \( H \subset G \) qui est elle-même un groupe pour la loi de \( G \).
Exemple : \( 2\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z} \) est un sous-groupe de \( (\mathbb{Z}, +) \).
3. Anneau
Un anneau est un ensemble \( A \) muni de deux lois :
- \( (A, +) \) est un groupe abélien
- \( (A, \times) \) est une loi associative
- La multiplication est distributive sur l’addition
Exemple : \( (\mathbb{Z}, +, \times) \) est un anneau commutatif sans élément inverse pour \( \times \).
4. Sous-anneau
Un sous-anneau est une partie d’un anneau stable par \( +, - \), et \( \times \), contenant le neutre.
Exemple : \( \mathbb{Z} \) est un sous-anneau de \( \mathbb{Q} \).
5. Corps
Un corps est un anneau commutatif dans lequel tout élément non nul possède un inverse pour la multiplication.
Exemple : \( \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C} \) sont des corps. \( \mathbb{Z} \) n’est pas un corps.
6. Sous-corps
Un sous-corps est un sous-ensemble d’un corps qui est lui-même un corps pour les mêmes opérations.
Exemple : \( \mathbb{Q} \) est un sous-corps de \( \mathbb{R} \).
Last modified: Friday, 9 May 2025, 10:31 PM