Notion d’ensemble : Un ensemble est une collection bien définie d’objets appelés éléments.

Appartenance : On note \( x \in A \) si l’élément \( x \) appartient à l’ensemble \( A \).

Non appartenance : On note \( x \notin A \) si \( x \) n’appartient pas à \( A \).

Inclusion : \( A \subset B \) signifie que tous les éléments de \( A \) sont dans \( B \).

Ensemble vide : L’ensemble sans éléments est noté \( \varnothing \). Il est inclus dans tout ensemble.

Non inclusion : \( A \nsubseteq B \) signifie qu’au moins un élément de \( A \) n’appartient pas à \( B \).

Égalité d’ensembles : \( A = B \) si \( A \subset B \) et \( B \subset A \).

Réunion : \( A \cup B \) contient les éléments de \( A \) ou de \( B \).

Intersection : \( A \cap B \) contient les éléments communs à \( A \) et \( B \).

Famille finie d’ensembles : Une suite finie \( (A_1, A_2, ..., A_n) \) d’ensembles indexés.

Propriétés :

• Associativité : \( A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C \), idem pour \( \cap \).
• Commutativité : \( A \cup B = B \cup A \), \( A \cap B = B \cap A \).
• Distributivité : \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \) et inversement.

Différence : \( A \setminus B \) contient les éléments de \( A \) qui ne sont pas dans \( B \).

Différence symétrique : \( A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \).

Parties d’un ensemble : L’ensemble \( \mathcal{P}(A) \) contient tous les sous-ensembles de \( A \).

Complémentaire : Par rapport à \( U \), \( \bar{A} = U \setminus A \).

Partition : Une famille \( (A_i) \) est une partition de \( E \) si les \( A_i \) sont disjoints deux à deux et leur union est \( E \).

Produit cartésien :

• \( A \times B = \{ (a,b) \mid a \in A, b \in B \} \)
• Produit d’une famille finie : \( \prod_{i=1}^{n} A_i \)
• Produit \( A^n = A \times A \times \cdots \times A \) (n fois)

Application : Une application \( f: A \to B \) associe à tout élément \( x \in A \), un unique \( f(x) \in B \).

Égalité d’applications : \( f = g \) si \( \forall x \in A, f(x) = g(x) \).

Application identité : \( \text{id}_A(x) = x \).

Types d’applications :

• Injective : \( f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \)
• Surjective : Pour tout \( y \in B \), il existe \( x \in A \) tel que \( f(x) = y \)
• Bijective : Injective et surjective à la fois.

Composition : \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \).
Elle n’est pas commutative en général : \( g \circ f \ne f \circ g \).

Application réciproque : Si \( f \) est bijective, alors \( f^{-1} : B \to A \) vérifie \( f^{-1}(f(x)) = x \).

Image directe : \( f(A) = \{ f(x) \mid x \in A \} \).

Image réciproque : \( f^{-1}(B) = \{ x \in A \mid f(x) \in B \} \).

Graphe d’une application : Ensemble \( G_f = \{ (x, f(x)) \mid x \in A \} \subset A \times B \).