Résumé : Logique Mathématique

1. Proposition

Une proposition est une phrase qui a un sens clair et qui est soit vraie, soit fausse.

Exemple : « 3 est impair » (vrai), « 2 + 2 = 5 » (faux).

2. Négation

La négationP est notée ¬P. Elle est vraie lorsque P est fausse, et inversement.

Exemple : P : « Il pleut » → ¬P : « Il ne pleut pas ».

3. Implication

L’implication est une proposition de la forme : Si P, alors Q, notée P ⇒ Q.

Elle est fausse uniquement si P est vraie et Q est fausse.

4. Propriétés logiques

• Associativité : (P ∧ Q) ∧ R = P ∧ (Q ∧ R)
• Commutativité : P ∧ Q = Q ∧ P
• Distributivité : P ∧ (Q ∨ R) = (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)

5. Équivalence logique

Deux propositions sont équivalentes si elles ont la même valeur de vérité dans tous les cas. Notée P ⇔ Q.

Exemple : P ⇒ Q est équivalent à ¬P ∨ Q.

6. Tableau de vérité

📋 Définition : Tableau de vérité

Un tableau de vérité est un outil logique qui permet de représenter toutes les combinaisons possibles de valeurs de vérité (vrai ou faux) pour une ou plusieurs propositions, et de déterminer la valeur de vérité d'une expression logique en fonction de ces combinaisons.

Il est utilisé pour :

• Étudier le comportement des connecteurs logiques comme ¬, ∧, ∨, ⇒.
• Vérifier la validité ou la tautologie d’une expression logique.
• Tester l'équivalence entre deux propositions.

🧠 Méthodes de raisonnement mathématique

🚫 Raisonnement par l’absurde

On suppose que l’énoncé est faux, et on montre que cela conduit à une contradiction.

🧭 Raisonnement direct

On utilise les définitions et propriétés pour déduire logiquement une conclusion à partir des hypothèses.