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 Université de Dr. Moulay Tahar . saida 

Faculté de Sciences 

École Normale Supérieure de Saïda

Département  de Mathématique

Niveau : 1 PES &1 PEM

Module : Algèbre

Solution de fiche TD : Les Structures Algébriques

  Exercice 03:

  Première méthode :

Soient \( x, y \in G \), \[ x * y * x * y = e \implies x * y * x * y * y = e * y \] \[ \implies x * y * x * e = y \] \[ \implies x * y * x = y \] \[ \implies x * y * x * x = y * x \] \[ \implies x * y * e = y * x \] \[ \implies x * y = y * x. \]

Donc la loi \( * \) est commutative.

  Deuxième méthode :

Soient \( x, y \in G \). On a \[ x * x = e \implies \frac{x^{-1} * x * x}{e * x} = x^{-1} * e \] \[ \implies x = x^{-1}. \]

De même, on a \( y = y^{-1} \). Maintenant, on peut obtenir \[ x * y = (x * y)^{-1} = y^{-1} * x^{-1} = y * x. \]

Donc la loi \( * \) est commutative.

  Troisième méthode :

Soient \( x, y \in G \). On a \[ x * y = e * x * y * e = y * y * x * y * x * x \] \[ = y * (y * x) * (y * x) * x = y * e * x \] \[ = y * x. \]

Donc la loi \( * \) est commutative.

  Exercice 04:

Soient \( x, y \in \mathbb{R} \), \[ f(x + y) = 4^{x + y} = 4^x \cdot 4^y = f(x) \cdot f(y), \] ce qui montre que \( f \) est un morphisme de groupes.

Soit \( y \in \mathbb{R}_+^* \), \[ y = f(x) \iff y = 4^x \] \[ \iff \ln y = x \ln 4 \] \[ \iff x = \frac{\ln y}{\ln 4}, \] donc \( \forall y \in \mathbb{R}_+^*, \, \exists! x \in \mathbb{R}, \, y = f(x) \). D'où l'application \( f \) est bijective.

Et par conséquent, \( f \) est un  isomorphisme de groupes .