Exercice 10

On note \( P \) la proposition suivante : \( \forall n \in \mathbb{N}, \exists m \in \mathbb{N} \) tel que \( m < n \).

1. Montrer que \( P \) est fausse.

Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par :

\( f(x) = x^2 - 5x + 4 \)

2. Montrer que \( f \) n’est pas paire.

3. Montrer que \( f \) n’est pas impaire.

4. Montrer que \( f \) n’est pas décroissante sur \( \mathbb{R} \).

Exercice 11

1. Montrer que : \( \forall n \in \mathbb{N}^* \), \[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \leq 2 - \frac{1}{n} < 2 \]
2. Montrer que : \[ \forall n \in \mathbb{N}, \exists a_n, b_n \in \mathbb{N} : \begin{cases} (1 + \sqrt{2})^n = a_n + b_n \sqrt{2}, \\ a_n^2 - 2b_n^2 = (-1)^n. \end{cases} \]
3. Montrer que : \( \forall n \in \mathbb{N}^* \), \[ 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} \geq \sqrt{n}. \]