الدرس رقم: 01

مراجعة عامة لمبادئ الإحصاء

أولا- الإحصاء الوصفي:

يعرف الإحصاء الوصفي بأنه طريقة وصف كمية تستعمل العدد كأساس موضوعي، حيث يهتم بوصف الظواهر وتنظيمها وتبويبها وتمثيلها بيانيا، وإلقاء الضوء على كل ما يحتويه من معلومات، فهو يتجه إلى جميع المقاييس التي تمكن الباحث من وصف بيانات بحثه وتلخيصها بصورة كمية (خليفي، 16،15:2023) .

وحسب (القاضي وآخرون، 16:2005) فإن الإحصاء الوصفي يمثل الطرق الرقمية أو الحسابية لتلخيصها واختصارها ومن ثم عرض المعلومات عن طريق الجداول والرسوم البيانية وغيرها.

كما يتضمن الكثير من المقاييس الإحصائية المهمة والواسعة الاستخدام مثل مقاييس النزعة المركزية ( المتوسط الحسابي، الوسيط، المنوال) ومقاييس التشتت ( المدى، التباين، الانحراف المعياري) وسنحاول عرض هذه المقاييس وطرق حسابها بالتفضيل في هذا العنصر:

1- مقاييس النزعة المركزية : Measures of Central Tendency

عندما تميل البيانات الإحصائية إلى التمركز حول قيمة معينة، وكلما كان الابتعاد عن هذه القيمة فإن عدد المعلومات يبدأ بالتناقص فحينئذ نسمي هذه الظاهرة بالنزعة المركزية (خليفي،81:2023).

وحسب ( الجادري، 109:2007) فهي تعني ميل المفردات أو المشاهدات نحو التمركز أو التجمع حول قيمة رقمية معينة في التوزيع، ولقياس النزعة المركزية نستخدم عدة مقاييس منها:

أ- المتوسط الحسابي:Arithmitic Mean

يعتبر المتوسط الحسابي من أشهر مقاييس النزعة المركزية، حيث يستخرج بجمع كل عناصر المجموعة ثم قسمة النتيجة على عناصر أو أفراد المجموعة ( حليمي،57:2009)

وحسب (بوحفص،47:2011) فإن المتوسط الحسابي يشير إلى مجموع قيم المتغير المدروس على عددها، ويمكن حساب المتوسط الحسابي في الحالات الثلاث التالية كما حددتها (ساعد وردية، 5،4،3:2018) كمايلي:

1- حساب المتوسط الحسابي لعدد من القيم (درجات أصلية دون تكرار):

$\overline{X}=\frac{\sum x}{N}$

$\overline{X}$ = المتوسط الحسابي

$x$ = المتغير الكمي

$N$ = عدد القيم (حجم العينة)

مثال: القيم الموجودة تعبر عن علامات ل 07 تلاميذ في نشاط اللغة العربية: 5.8.7.4.10.9.6

يمكن حساب المتوسط الحسابي وفق القانون السابق كمايلي:
$\overline{X}=\frac{5+8+7+4+10+9+6}{7}$

$\overline{X}=\frac{49}{7}$

$\overline{X}=7$

 

 

2- حساب المتوسط الحسابي في حالة بيانات مجمعة في جدول تكراري بسيط:

عندما تكون القيم التي نحصل عليها مكررة، فإن الباحث يلجأ إلى تنظيم هذه البيانات في جدول تكراري بسيط، ويكون حساب المتوسط الحسابي في هذه الحالة بتطبيق المعادلة التالية

$\overline{X}=\frac{\sum x.F}{N}$

$\overline{X}$= المتوسط الحسابي

$x$ = المتغير الكمي

$N$ = مجموع القيم

مثال: لنفرض أننا حصلنا على أعمار مجموعة من الأطفال وتم تبويبها كمايلي:

F.XI	التكرار F	العمر بالسنة X
18 14 10 32 45	3 2 2 4 5	6 7 5 8 9
119	16	∑

$\overline{X}=\frac{119}{16}$

$\overline{X}=7.43$

3- حساب المتوسط الحسابي في البيانات المبوبة:

عندما يكون عدد البيانات 30 أو أكثر N > 30، يقوم الباحث بتبويب البيانات في جدول تكراري ويحسب المتوسط الحسابي كمايلي:

$\overline{X}=\frac{\sum xi F}{N}$

 

$\overline{X}$= المتوسط الحسابي.

$xi$ = مركز الفئة (مجموع الحدين تقسيم 2)

$F$= تكرار كل فئة.

$N$ = عدد البيانات.

مثال: البيانات الموجودة في الجدول التالي تبين درجات اضطراب النشاط الزائد عند عينة تتكون من 60 طفل في المرحلة الابتدائية:

Xi.F	مركز الفئة X i	التكرار F	اضطراب النشاط الزائد
546 517 416 684 558 469	42 47 52 57 62 67	13 11 8 12 9 7	40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69
3190	/	60	∑

 

$\overline{X}=\frac{ 3190}{60}$

$\overline{X}=53.16$

2- الوسيط: The Median

يعرفه ( ) بأنه القيمة التي تقع وسط مجموعة من القيم المرتبة ترتيبا تصاعديا أو تنازليا، إذ أن القيمة التي تقع في الوسط تكون في بعض التوزيعات قريبة من أكثر القيم التي تنتشر حولها لذلك فهي قيمة ممثلة لأغلب القيم وهي الوظيفة التي تؤديها المتوسطات (الهدلة،66:2016)

ويعرفه (حليمي، 60J على أنه سلسلة من القيم، أو القيمة المنصفة التي تقسم مفردات هذه السلسلة إلى نصفين، وذلك بعد ترتيب عناصرها بحيث يكون عدد القيم الأكبر منها مساويا تاما لعدد القيم الأصغر منها.

أو القيمة التي تقسم التوزيع إلى قسمين متساويين من حيث عدد المشاهدات، أي القيمة التي تقع وسط التوزيع، حيث يستخدم بدلا من المتوسط الحسابي عندما تكون هناك قيمة شاذة في التوزيع والهدف من الوسيط هو الترتيب، ويرمز له بالرمز Md ( ساعد وردية، 5:2018)

ويمكن حساب الوسيط في الحالات التالية كما حددتها (خليفي،96،95:2023) كمايلي:

• الوسيط في حالة بيانات غير مبوبة: وهنا يكون تعيين الوسيط من خلال حالتين:
• الحالة الأولى: عندما يكون عدد القيم h فرديا، ففي هذه الحالة نرتب القيم تصاعديا أو تنازليا ثم نبحث عن رتبة الوسيط وفق القانون التالي:

رتبة الوسيط

$Rmd=\frac{N+1}{2}$

مثال: إليك البيانات التالية (8- 4 – 3 – 5 – 9 – 7 - 12)

- نرتب هذه البيانات تصاعديا: (3- 4 - 5 - 7- 8 – 9 – 12 )

- عدد القيم هو 7 ابحث عن رتبة الوسيط:

$Rmd=\frac{7+1}{2}$

$Rmd =\frac{8}{2}$

$Rmd=4$

الوسيط هو الرقم المقابل للرتبة: 4 وهي القيمة 7.

2- الحالة الثانية: عندما يكون عدد القيمh زوجيا:

في هذه الحالة قيمة الوسيط هي عبارة عن الوسط الحسابي للقيمتين ذات الترتيب $1+\frac{N}{ 2 } و\frac{N}{2}$

 

مثال: لدينا القيم التالية: 4 -7 - 8 – 3 - 2 - 10 - 12 - 13

نرتب هذه القيم كالآتي: 2 -3 - 4 – 7 - 8 - 10 - 12 - 13

عدد القيم هو 8 وهو عدد زوجي

نبحث عن الرتبة الأولى وهي $4=\frac{8}{2}$

والرتبة الثانية التي تليها مباشرة وهي $5=1+4$

ومنه وسيط هذه القيم هو متوسط القيميتن التي تقابل 4 و 5

$Md=\frac{7+8}{2}$

$Md=\frac{15}{2}$

$Md=7.5$

ب- الوسيط في حالة بيانات مبوبة: في هذه الحالة المعطيات بعبر عنها بواسطة الفئات، ولا يهم إذا كانت أطوال الفئات متساوية أو مختلفة (عزوز،119:2010)، ولحساب الوسيط يمكن تطبيق المعادلة التالية كما قدمها

(بوحفص، 52:2011) كمايلي:

$Md=L+\frac{[\left(\frac{N}{2}-nb\right).∆}{Nw}$

$L$ الحد الأدنى الفعلي للفئة الوسطى.

$\frac{N}{2}$ حجم العينة مقسم على إثنان

$nb$ التكرار المتجمع الصاعد للفئة قبل الوسطى

$Nw$ التكرار الأصلي للفئة الوسطى

$∆$ طول الفئة

مثال: لتكن البيانات التالية عبارة عن علامات مجموعة من الطلاب في مادة المنهجية:

الفئة	F	FC+
(1 - 3 )	6	6
(4 - 7 )	4	10	N b
(8 - 11)	5	15	فئة وسيطية
(12 - 5) (16- 19)	7 8	22 30
∑	30

 

نبحث عن الفئة الوسيطية:

- رتبة الوسيط:

$15=\frac{30}{2}=\frac{N}{2}$

نبحث في FC+ عن القيمة التي تساوي 15 أو تفوقها مباشرة وهي الفئة (8 - 11)

- الحد الأدنى الفعلي للفئة الوسيطية: هو 08 وننقص منه 0.5 أي 7.5

$Md=7.5+\frac{[\left(15-10\right)}{5}.4$

$Md=7.5+4$

$Md=11.5$

ج- المنوال: The mode

يعتبر المنوال أقل مقاييس النزعة المركزية فائدة ذلك لأنه لا يوفر لنا إلا القليل من المعلومات، مقارنة بالوسيط، حيث يشير إلى الدرجات الأكثر شيوعا في التوزيع التكراري، فنعرف من خلاله الدرجات الأكثر تكرارا ومقارنتها بالمتوسط، أو في معرفة نسبة الذكاء الشائعة بين أفراد العينة (مقدم عبد الحفيظ، 68:2011)

مثال: نستنتج المنوال من البيانات التالية:

∑	3	5	2	7	4	3	x
20	4	6	2	3	4	1	F

إذن المنوال هو القيمة 5 لأن لها أكبر تكرار وهو 6

أما في حالة البيانات المبوبة : يمكن إيجاد المنوال في هذه الحالة حسب طريقة الفروق للعالم الإحصائي C.Pearson الذي يعتبر المنظر لهذه الطريقة وذلك كما أشارت إليه (خليفي، 102:2023) وفق العلاقة الإحصائية التالية:

$Mo=L+\frac{∆1}{∆1+∆2}.k$

$L$ الحد الأدنى للفئة المنوالية وهي التي تقبل أكبر تكرار في حالة توزيع تكراري متساوي الفئات، أو هي الفئة التي تقابل أكبر تكرار معدل في حالة توزيع تكراري غير متساوي الفئات.

$∆1$ الفرق بين تكرار الفئة المنوالية وتكرار الفئة السابقة لها.

$∆2$ الفرق بين تكرار الفئة المنوالية وتكرار الفئة اللاحقة لها.

$k$ طول الفئة المنوالية.

مثال: التوزيع التكراري التالي يمثل أطوال طلاب شهادة البكالوريا.

فئة الأطوال	التكرار
[ 1.40- 1.45] [ 1.46- 1.51] [ 1.52- 1.57] [ 1.58- 1.63] [ 1.64- 1.69] [ 1.70- 1.75]	6 3 7 5 8 4
∑	33

 

المطلوب: إيجاد المنوال حسابيا

• تحديد الفئة المنوالية: هي الفئة التي لها أكبر تكرار وهي الفئة [ 1.64- 1.69]

وعليه فإن الحد الأدنى للفئة المنوالية هو 164

وطولها هو: K= 6

2- $∆1$ الفرق بين تكرار الفئة المنوالية وتكرار الفئة السابقة لها (8- 5)

3- $∆2$ الفرق بين تكرار الفئة المنوالية وتكرار الفئة اللاحقة لها (8- 4)

4- تطبيق معادلة المنوال:

$Mo=L+\frac{∆1}{∆1+∆2}.k$

$Mo=164+\frac{(8-5)}{(8-5)+(8-4)}.6$

 

$Mo=164+(0.42.6)$

$Mo=166.52$

2- مقاييس التشتت: Measures Of Dispersion

تفيد هذه المقاييس في معرفة ما إذا كان أفراد العينة متساوين في الدرجات أم أن هناك تباينا كبيرا (مقدم، 70:2011) كما تعطينا معلومات عن مدى انتشار قيم السلسلة الإحصائية حول قيمة مركزية (عزوز،219:2010) ومن هذه المقاييس نجد:

• المدى:

يعرف المدى والذي يسمى بالمدى المطلق كأحد مقاييس التشتت بأنه الفرق بين أعلى قيمة رقمية للمشاهدات وأدنى قيمة لها، وعلى الرغم من أهميته إلا أن كفاءته تقل كلما زادت عدد المشاهدات أو لمفردات، ذلك لأنه يعتمد في قياسه على مفردتين، المفردة ذات القيمة الدنيا والمفردة ذات القيمة العليا، وبالتالي فهو لا يعطي اهتماما كافيا للاختلافات الموجودة بين قيم المفردات الأخرى (الجادري،184:2003) ويمكن حساب المدى حسب ( مصطفى خلف، 102،101:2013) وفق حالتين كمايلي:

• حساب معامل المدى من البيانات غير المبوبة:

مثال: البيانات التالية تمثل درجات الصحة النفسية للشباب على أحد مقاييس الصحة النفسية.

75 – 80 – 62 – 48 – 35 – 26 – 31-58

المطلوب: حساب المدى ومعامل المدى من هذه البيانات:

نحصل على المدى الذي نرمز له بالرمز R بالمعادلة التالية:

R=L-S

L = أعلى قيمة.

S = أدنى قيمة.

R=80 – 26

R= 54

أما معامل المدى والذي نرمز له بالرمز CR فنحصل عليه بالمعادلة التالية:

$CR =\frac{L-S}{L+S}$

$CR =\frac{80-26}{80+26}$

$CR =\frac{54}{106}$

$CR =0.509$

 

2- حساب معامل المدى من البيانات المبوبة:

مثال: تمثل البيانات التالية علامات 60 طالب في طور الماستر لمادة علم النفس الإيجابي

المطلوب: حساب المدى ومعامل المدى من هذه البيانات

لفئات	التكرار f
[ 0 – 10 ] [ 10– 20 ] [ 20 – 30 ] [ 30 – 40 ] [ 40 – 50 ] [ 50 – 60 ]	14 8 6 13 12 7

الحل:

تكون هي الحد الأدنى للفئة الأولى وهي 0 (صفر) أما فهي الحد الأعلى للفئة الأخيرة وهي 60 ، وبذلك نحصل على المدى كمايلي:

R=L-S

60 – 0 = 60

كما نحصل على معامل المدى كمايلي:

$CR =\frac{L-S}{L+S}$

$CR =\frac{60-0}{60+0}$

$CR =\frac{60}{60}$

$CR =1$

2- التباين: The Variance

هو المقياس الكمي لتشتت الدرجات حول المتوسط (مقدم،70:2011) ومعادلته هي:

3- الانحراف المعياري: Standard Deviation

هو الجدر التربيعي للتباين، او هو كما عرفه(مقدم،70:2011) الجدر التربيعي لمتوسط مربعات القيم عن متوسطها الحسابي، ويفيد استخدامه في معرفة طبيعة توزيع أفراد العينة أي مدى انسجامها، وهو يتأثر بالمتوسط والدرجات المتطرفة أو تشتتها، وبمدى صلاحية الاختبار المطبق، كما يفيدنا في مقارنة مجموعة بمجموعة أخرى.

قائمة المراجع:

1- خليفي حفيظة، 2023، الإحصاء الوصفي في العلوم الإجتماعية، ألفا للوثائق للنشر والتوزيع، جامعة عمار ثليجي، الأغواط، الجزائر.

2- القاضي دلال، سهيلة عبد الله، البياتي محمود، 2005، الإحصاء للإداريين والاقتصاديين، ار ومكتبة الحامد، عمان، الأردن.

3- عدنان حسن الجادري، 2007، الإحصاء الوصفي في العلوم التربوية، دار المسيرة، جامعة عمان العربية للدراسات العليا، الأردن.

4- حليمي عبد القادر،2009 ، مدخل إلى الإحصاء، ديوان المطبوعات الجامعة، الجزائر.

5- عبد الستار سالم الهدلة، 2019، مبادئ الطرائق الإحصائية في التربية الرياضية، كلية التربية الرياضية، جامعة حماة، الجمهورية العربية السورية.

6- ساعد وردية، 2018، مطبوعة بيداغوجية في مادة الإحصاء وتحليل المعطيات، جامعة البويرة، الجزائر.

7- عزوز عبد الرزاق، 2010، الكامل في الإحصاء،الجزء الأول، ديوان المطبوعات الجامعية، الجزائر.

8- بوحفص عبد الكريم، 2011، الإحصاء المطبق في العلوم الاجتماعية والانسانية، ديوان المطبوعات الجامعية، الجزائر.

9- مقدم عبد الحفيظ، 2011، الإحصاء والقياس النفسي والتربوي، ديوان المطبوعات الجامعية الجزائر.

10- مصطفى خلف عبد الجواد، 2013، الإحصاء الاجتماعي المبادئ والتطبيقات، دار المسيرة للنشر والتوزيع، عمان، الأردن.