Méthode de la Matrice Instrumentale
Puisque le biais de l'estimateur des moindres carrés est biaisé à cause de la corrélation entre X et e, on se propose de déterminer une autre matrice qui permette le calcul de θ tout en évitant cette corrélation et donc le biais de l'estimateur
Posons :
Où Z est la
matrice instrumentale.
Quelles sont les conditions sur Z pour que l'équation précédente ait un
sens ?
En pour suivant le calcul :
pour que
il faut
Plusieurs choix de Z sont possibles, en voici deux :
Le premier choix
consiste à faire deux campagnes de mesures avec la même entrée ui,
le plus souvent consécutives (décalées dans le temps). Vous avez alors la
possibilité de déterminer deux matrices X soit X1 et X2,
puis déterminé 
en posant :
Il n'y a plus de
corrélation entre X2 et y1 (le bruit est
stochastique et ergodique) donc le biais est bien nul. La deuxième proposition
consiste à créer les données nécessaires à la création de la matrice X2
à l'aide d'un modèle de type moindre carré simples issu de la première campagne
de mesure.