المنوال II
المنوال لمجموعة من القيم هو القيمة التي تتكرر أكثر من غيرها، أو القيمة الأكثر شيوعًا. وقد لا يكون للقيم منوال، وقد يوجد للقيم منوال
ولكنه غير وحيد.
. 2 لها منوال هو 9 ،2 ،7 ،9 ،9 ،9 ،10 ،11 ،12 ، مثال 1 : المجموعة : 18
3 ليس لها منوال. ،5 ،8 ،10 ،12 ،15 ، مثال 2 : ا لمجموعة : 16
7 وتسمى مجموعة ذات منوالين. ، 2 لها منوالان هما 4 ،3 ،4 ،4 ،4 ،5 ،5 ،7 ،7 ،7 ، مثال 3 : ا لمجموعة : 9
التوزيع الذي له منوال واحد يسمى وحيد المنوال.
المقابلة لنقطة )أو نقط( النهاية العظمى X ) في حالة البيانات المبوبة حيث يعبر عن البيانات بمنحنى تكراري فإن المنوال هو قيمة )أو قيم
للمنحنى. ويعبر أحيانا عن هذه القيمة ل X ^ بالرمز
X .
ونحصل على المنوال من التوزيع التكراري أو المدرج التكراري باستخدام طريقة الفروق لبيرسون كما يلي:
أ- في التوزيع التكراري المنتظم.
لو رجعنا للمثال الخاص باستهلاك الكهرباء نجد أن التوزيع كان كالتالي:
5 الفئات - 25- 45- 65- 85- 102- 125- 145- المجموع 165
4 التك رارات 6 15 22 13 7 5 3 75
وبالتالي نكتب الفئة المنوالية )من 65 إلى أقل من 85 ( التي تحتوي على أكبر تكرار ) 22 (، وكذا الفئتين المجاورتين لها
بتكراريهما كما هو موضح فيما يلي :
تكرارات فئات
65-45 115
85-65 22
105-85 213
. من التعريف السابق لابد أن يقع المنوال بين القيمة 65 والقيمة 85
تستخدم في طريقة الفروق ل" بيرسون" الصيغة التالية:
29
C Mod L.
1 2
1
1  


 
حيث : L1
 لمنوال(. الحد الأدنى للفئة المنوالية )أي التي يقع فيها ا

1 الفرق بين تكرار الفئة المنوالية و تكرار الفئة السابقة عليها.

2 الفرق بين تكرار الفئة المنوالية و تكرار الفئة اللاحقة لها.
C . طول الفئة
22 15 7
1
   
).20
7 9
7
65 (

Mod  
91322
2
   
65 8,75 73,75Kw/H
16
140
 65   
ب. في التوزيع التكراري غير المنتظم :
لايجاد المنوال مع اتباع الخطوات السابقة. فمثلا بالنسبة )'( في هذه الحالة لابد من استخدام التكرارات المعدلة
للتوزيع غير المنتظم التالي الخاص بتوزيع أعمار 300 شخص :
التكرارات الفئات  ' C
0-2 18 9 2
2-5 30 10 3
5-10 60 12 5
10-16 90 15 6
16-25 54 6 9
25-35 20 2 10
35-50 28 1.86 15
300 المجموع - -
نجد أن الفئة المنوالية تكتب كما يلي :
التكرارات الفئات
5-10 12 1
10-16 15
16-25 6 2
10 1.5 = سنة 11.5
12
18
).6 10
9 3
3
.6 10 (
(15 12) (15 6)
(15 12)
10    

 
  

Mod  
30
نلاحظ أن طريقة الفر وق لبيرسون هي أكثر الطرق دقة لحساب المنوال.
خصائص المنوال :
أ. المزايا :
1. يمكن الحصول عليه بسهولة وبسرعة.
2. لا يتأثر بالجداول المفتوحة.
3. لا يتأثر بالقيمة المتطرفة.
4. يمكن الحصول عليه بالرسم.
5. المنوال هو مقياس لمتوسط المنازل وليس مقياسًا لمتوسط القيم.
ب. العيوب :
1. يتأثر بالفئات غير المتساوية مما يتطلب تعديل التكرارات.
2. لا يجب استخدامه إذا كانت القيم قليلة.
الوسيط III
الوسيط لمجموعة من الأرقام مرتبة حسب قيمها )في منظومة( هو القيمة التي في المنتصف أو الوسط الحسابي للقيمتين بالمنتصف.
. 3 وسيطها هو 6 ،4 ،4 ،5 ،6 ،8 ،8 ،8 ، مثال 1 : مجموعة الأرقام 10
.(9 11) 5 وسيطها هو : 10 ،5 ،7 ،9 ،11 ،12 ،15 ، مثال 2 : مجموعة الأرقام 18
2
1
والحقيقة أنه بالنسبة للبيانات غير المبوبة ،  
واسترشادًا لتحديد موقع الوسيط فإننا نزيد 1 على عدد القيم، ثم نأخذ نصف الناتج فيدلنا على ترتيبه.
 فلو كان لدينا 19 قيمة غير مبوبة، كان ترتيب وسيطها


2
1 19
10 ، أي القيمة العاشرة في الترتيب، وهكذا...
22 يكون ترتيب وسيطها ،28 ،36 ،46 ،58 ،72 ،89 ،91 ،106 ،115 : ) وإذا توافرت لدينا القيم التالية المرتبة تنازليا )وعددها 10



2
1 10
5,5 ، ونظرًا لأنه لا توجد أي قيمة في المجموعة ترتيبها 5,5 ، فمعنى ذلك أن الوسيط يقع بين القيمتين الخامسة والسادسة،
وعليه نستخرج نصف مجموع القيمتين الخامسة والسادسة، فتكون ممثلة للوسيط.
 أي أن الوسيط في هذه الحالة

 
2
58 72
2
130
.65
استخراج الوسيط للقيم المبوبة :
يستخرج الوسيط للقيم المبوبة باتباع نفس الخطوات التي استخدمت في استخراج الوسيط في حالة القيم غير المبوبة، مع مراعاة طبيعة التوزيع
التكراري ونوجزها فيما يلي :
1. بالنسبة لترتيب القيم )تصاعديا أو تنازليا( فإننا نشاهد أن الفئات بطبيعتها تكون مرتبة، إلا أننا نضيف افتراضا واجبا، وهو أن القيم
الداخلة في أي فئة تكون مرتبة فيما بينها.
وعلى ذلك فإنه لترتيب مجموعة من القيم المبوبة في جدول تكراري تصاعديا، يك ون جدولا تكراريا متجمعًا صاعدًا. ولترتيب مجم وعة من
القيم المبوبة في جد ول تكراري تنازليا، يك ون جدولا تكراريا متجمعًا نازلا.
31
2. فيما يختص بترتيب الوسيط، فإنه يحدد على أساس نصف مجموع التكرارات دون زيادتها بالواحد التي أضيفت إلى عدد القيم غير
.)( المبوبة
3. بعد أن نحدد ترتيب الوسيط )أي نصف مجموع التكرارات(، نحدد الفئة التي يقع بداخلها، وذلك بالاستعانة بجد ول التكرار المتجمع
)الصاعد أوالنازل(.
4. تكون قيمة الوسيط ممثلة لمبدأ الفئة التي يقع بداخلها، مضافًا إليها قدرًا من طول الفئة يتناسب مع بعد ترتيب الوسيط عن مبدئها بالنسبة
لتكرار هذه الفئة.
C
N
Me
f
f
L
Me
ci
Me
2 .
 
  
حيث : L : الحد الأدنى للفئة الوسيطية )أي الفئة التي يقع فيها الوسيط(. 1
N ) . : عدد العناصر في البيانات )مجموع التكرارات
f ci
 . : مجموع التكرارات لجميع الفئات قبل الفئة الوسيطية
f Med : تكرار الفئة الوسيطية
C . : طول الفئة
ويمكن التعبير هندسيا عن الوسيط بأنه القيمة على الاحداثي السيني التي إذا رسم عندها عمود رأسي فإنه يقسم المدرج التكراري إلى جزئين
متساويين.
مثال : لايجاد وسيط الطول ل 40 شخصا باستخدام التوزيع الوارد في الجدول أدناه :
ت. م. ص fi فئات الطول
150-155 3 3
155-160 5 8
160-165 9 17
165-170 12 29
170-175 5 34
175-180 4 38
180-185 2 40
40 المجموع -
الحل : باستخدام الصيغة السابقة :
بما أن مجموع التكرارات المقابلة للفئات الثلاث الأولى والفئات الأربع الأولى هي على الترتيب 17 و 29 فإن الوسيط يقع في الفئة الرابعة، وهي
بالتالي الفئة الوسيطية، وبهذا :
LMe 165 ، N  40 ، f ci 17 ، f Me 12 ،C=5
(  (- ورد في بعض المؤلفات أن ترتيب الوسيط من الجدول التكراري يساوي
2
 f 1 وهذا لا يستخدم إلاّ في حالة التوزيع المنفصل.
32
C : وبهذا فإن الوسيط
N
f
f
M L
Me
ci
e Me
( 2 ).
 
 
).5 166.25cm
12
17
2
40
165 ( 

 
خصائص الوسيط :
1. يمكن الحصول عليه بسهولة وبسرعة.
2. لا يتأثر بالقيم المتطرفة الشاذة.
3. لا يتأثر بالفئات غير المتساوية.
4. لا يتأثر بالجداول المفتوحة.
5. يمكن الحصول عليه بالرسم.
6. يقع دائما بين الوسط الحسابي والمنوال.
7. الوسيط مثل المنوال يمثل متوسط منازل القيم وليس متوسط القيم.
العلاقة بين الوسط الحسابي والمنوال والوسيط :
أ(- في التوزيع التكراري المتماثل تمامًا، نجد أن 
Me  Mod  X
ب(- في التوزيع التكراري غير المتماثل، تقع دائما قيمة الوسيط بين الوسط الحسابي والمنوال.
 : فإذا كان التوزيع التكراري غير متماثل ذو التواء موجب نجد أن
X < Me < Mod
أم ا إذا كان التوزيع التكراري غير متماثل ذو التواء سالب فإن : Mod < Me < 
X
ج(- المنحنيات الوحيدة المنوال والملتوية )غير المتماثلة( تحقق العلاقة الاعتبارية التالية :
X Mod  3(X Me)
 
أو: 2
3Me Mod
X

