Choix du signal d'excitation

Pour bien identifier, il faut bien exciter dans tout le spectre de fréquences susceptible de contenir des
constantes de temps du système.

-           sin(wt) : parfait d'un point de vue spectre (balayage en fréquence) mais peu de systèmes acceptent
ce genre d'entrées.

-           δ(t) : parfait du point de vue théorique, mais difficile de réaliser une bonne approximation de
l'impulsion.

-           u(t) : moins bon d'un point de vue spectral  mais facile à implanter.

-           b(t) : bruit blanc idéal d'un point de vue spectral mais comment le réaliser?

Il arrive que vous n'ayez aucune possibilité d'exciter le système (ex : machine en production), il faudra alors profiter des commandes "naturelles" du système comme signal d'entrée du système. Dans ce cas, le premier travail consiste à calculer le spectre du signal d'entrée (FFT par exemple). Il faudra vérifier a posteriori que les constantes de temps identifiées sont bien dans des domaines de fréquences dans lesquels le système a été excité.

Les séquences binaires pseudo aléatoires (SBPA)

L'un des moyens de réaliser un signal "aléatoire" est la mise en œuvre de Séquences Binaires Pseudo Aléatoires (en anglais PRBS : Pseudo Random Binary Sequence)

Principe :

Génération d’une SPBA de longueur 2⁵-1 =31 périodes d’échantillonnage

Les SPBA sont engendrées à l’aide de registres à décalage (réalisés en matériel ou logiciel) bouclés. La longueur maximale d’une séquence est 2^N-1 ; où N est le nombre de cellules du registre à décalage. La figure présidente présente la génération d’une  SBPA de longueur 31=2⁵-1 obtenue à l’aide d’un registre à décalage ayant 5 cellules. A noter qu’au moins une de N cellules du registre à décalage doit avoir une valeur logique initiale différente de 0 ( en générale, on fixe les valeurs logiques initiales de toutes les cellules à 1).

Nombres des cellules N	Longueur de séquence L=2N-1	Bits additionnés Bi et Bj
2	3	1 et 2
3	7	1  et 3
4	15	3  et 4
5	31	3  et 5
6	63	5 et 6
7	127	4 et 7
8	255	2 , 3 ,4 et 8
9	511	5 et 9
10	1023	7  et 10

TABLEAU  donne pour différents  nombres de cellules, les structures des bouclages permettant d’engendrer des SBPA de longueur maximale

Notons aussi  un élément caractéristiques très important des  SBPA : la durée  maximale d’une impulsion (t_im) de la SBPA  est égale NTe (où N nombres des cellules et Te la période d’échantillonnage)    

Dimensionnement de la SBPA

Pour bien identifier le gain statique du procédé, il faut que la durée d’au moins une des impulsions (par exemple l’impulsion de durée maximale) soit supérieure au temps de montée t_M du  procédé. La durée maximale d’une impulsion étant N.T_e, il résulte la condition :

t_im =NT_e > t_M  

qui est illustrée dans la figure suivante:

A partir de la condition  t_im =NT_e > t_M    , on détermine N et donc la longueur de la séquence 2^N-1.

     t_im  = T _e .N > t_M 

D’autre part, pour balayer tout le spectre de fréquences, il faut que la longueur d’un essai soit au moins égale à la longueur de la séquence. Dans beaucoup de cas, on choisit la durée de l’essai (L) égale à la longueur de la séquence. Si la durée de l’essai est spécifiée, il faut donc s’assurer que :

    2^N-1T_e < L ; L = durée de l’essai

A notre que la condition précédente  peut conduire à des valeurs assez grandes de N correspondant à des longueurs de séquence de durée prohibitive soit parce que T_e est très grand, soit parce que le système à identifier risque d’évoluer pendant la durée de l’essai.     

             C’est la raison pour laquelle dans beaucoup de situations pratiques, on choisit comme fréquence d’horloge pour la SBPA un sous-multiple de la fréquence d’échantillonnage. Si :

 alors  on peut écrit    
Cette approche est plus intéressante que l’allongement de la longueur de la séquence (augmentation de N). En effet, si on passe de N à N’ = N+1,la durée maximale d’une impulsion passe de N T_e à (N+1) T_e mais la durée de la séquence double L’ =2L. Par contre si on choisit  f_SBPA = f_e/2, la durée maximale d’une impulsion passe de NT_e à 2NT_e pour une durée de la séquence doublée L’ = 2L. De la comparaison des deux approches, il résulte que la deuxième approche (division de la fréquence) permet d’obtenir une impulsion de durée plus grande pour une durée identique de la séquence et donc de
 l’essai. Si on note par p l’entier diviseur de fréquence, on a dans le cas de la division de la fréquence d’horloge (t_im =durée de l’impulsion maximale) :

Dans le cas de l’augmentation du nombre de registres N par p-1,  sans changer la fréquence d’horloge, on a : 

      Notons que l’utilisation d’un diviseur de fréquence pour la fréquence d’horloge de la SBPA va augmenter la densité spectrale de la séquence en basses fréquences (but recherché) mais va réduire la bande de fréquence correspondant à une densité spectrale d’énergie constante.  

      A titre d’exemple, les densités spectrales  des séquences binaires pseudo-aléatoires engendrées avec N = 8, pour  p = 1,2,3 sont représentées dans la figure suivante. On peut observer que pour p>1 l’énergie du signal est réduite en hautes fréquences mais augmentée en basses fréquences. Par ailleurs pour p = 3 il y a un trou à f_e/3 (le signal ne contient pas la sinusoïde de fréquence f_e/3).

Densité spectrale pour une SBPA  a) N=8,p=1   b)N=8,p=2   c)N=8,p=3

Choix de l’amplitude de la SBPA

L’amplitude de la SBPA peut être très faible, mais elle doit être supérieure au niveau du bruit résiduel. Si le rapport signal / bruit est trop faible, il faut allonger la longueur de l’essai pour pouvoir obtenir une bonne estimation des paramètres.