📘 Résumé : Base canonique, Applications linéaires, Endomorphismes

1. Base canonique

La base canonique de ℝⁿ est la famille :

e₁ = (1, 0, ..., 0), e₂ = (0, 1, ..., 0), ..., eₙ = (0, 0, ..., 1)

Tout vecteur x ∈ ℝⁿ peut s’écrire comme x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + xₙeₙ.

2. Application linéaire

Une fonction f : E → F est une application linéaire si :

• f(u + v) = f(u) + f(v) pour tous u, v ∈ E
• f(λu) = λf(u) pour tout λ ∈ ℝ et u ∈ E

3. Endomorphisme

Un endomorphisme est une application linéaire f : E → E, c’est-à-dire de l’espace vers lui-même.

4. Noyau d'une application (Ker f)

Le noyau de f est l’ensemble des vecteurs envoyés sur 0 :

Ker(f) = {x ∈ E | f(x) = 0}

C’est un sous-espace vectoriel de E.

5. Image d'une application (Im f)

L’image de f est l’ensemble des vecteurs de F qui sont images d’un vecteur de E :

Im(f) = {f(x) | x ∈ E}

C’est un sous-espace vectoriel de F.

6. Somme directe

Deux sous-espaces F et G de E forment une somme directe si :

• E = F + G (tout vecteur s’écrit comme f + g)
• F ∩ G = {0}

On note alors E = F ⊕ G.